Moderne mathematische Methoden der Physik, Band 2: Operator- und Spektraltheorie - Gruppen und Darstellungen | Date: 21 April 2011, 00:17
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Der gro?e Vorzug des Goldhornschen Skripts liegt in seiner kompromi?losen Konzentration aufs Wesentliche. Im einzelnen:
Die Auswahl des Stoffes deckt ein breites Spektrum mathematischer Konzepte und Methoden ab, die fur die heutige Physik relevant sind. Im Gegenzug wird das bei vielen Dozenten und Buchautoren so beliebte Herumreiten auf angeblich erhellenden Einzelheiten uberall dort vermieden, wo sie sich in der Praxis als nicht wirklich erhellend erwiesen haben. Gerade in dieser Hinsicht wurde das Skript im Laufe einer langjahrigen Lehrerfahrung immer weiter optimiert. Die umfangreiche Sammlung von Ubungsaufgaben liefert naturlich etliche Details nach, die in der Vorlesung vermi?t werden konnten.
Die Anordnung des Materials folgt nicht so sehr einer mathematischen Systematik als vielmehr den kurrikularen Bedurfnissen des Physikstudiums. Das wirkt zwar oft etwas unkonventionell, vermeidet aber den verbreiteten Mi?stand, da? wichtige mathematische Begriffe und Methoden von den Dozenten der Physik ad hoc eingefuhrt werden mussen, weil das betreffende Material im mathematischen Grundkurs erst viel spater an der Reihe ist. Dabei werden auch Vorwartszitate in Kauf genommen, und diese werden didaktisch nutzbringend eingesetzt, indem abstraktere und fur die Studierenden schwer motivierbare theoretische Uberlegungen zuruckgestellt werden, bis sie schlie?lich als Losung eines schon durch mehrfache Erfahrung vertrauten Problems in Erscheinung treten.
Die Prasentation und sprachliche Ausgestaltung folgt dem Prinzip, da? gute Didaktik nicht darin besteht, moglichst viele Worte zu machen, sondern durch wenige gut gewahlte Worte erreicht wird, unterstutzt durch geeignete Illustrationen und ein breites Angebot von sinnvollen Ubungsaufgaben. Die meisten Behauptungen werden auch bewiesen oder hergeleitet, doch handelt es sich nur im Ausnahmefall um die detaillierte Ausfuhrung eines mathematisch rigorosen Beweises. Zumeist ist es eine recht knappe Darstellung des prinzipiellen Gedankengangs, manchmal unterstutzt durch Veranschaulichungen oder physikalische Motivationen. Die Beweisteile, die am ausfuhrlichsten dargestellt sind, sind Rechengange, wie sie auch fur die Praxis des Physikers typisch sind. Manchmal wird ein leichter Spezialfall bewiesen und die dringend benotigte allgemeinere Version schlicht berichtet.
Hier und da werden exemplarisch auch mathematische Beweise in aller Strenge und Ausfuhrlichkeit dargeboten, um die Studierenden mit der mathematischen Denk- und Ausdrucksweise zu konfron tieren und ihre Kritikfahigkeit bezuglich mathematischer Vertrauenswurdigkeit einer Argumentation zu schulen. Dies scheint mir in der Tat – zumindest f?ur die begabteren Studierenden – ein wichtiger Aspekt zu sein, angesichts einer schier unubersehbaren Flut von Fachliteratur, bei der junge Wissenschaftler es oft als eine Herausforderung empfinden, zwischen vertrauenswurdigen und weniger vertrauenswurdigen Beitragen zu unterscheiden. – Am anderen Ende des Spektrums finden sich ab und zu auch knappe Ergebnisberichte uber tiefliegende Resultate, die den Rahmen der Vorlesung sprengen wurden.
Die Aufgabensammlung enthalt etwa zu 70 – 80 % Aufgaben, bei denen das Schwergewicht auf dem Einuben von Rechentechniken liegt. Theoretische Aufgaben, die helfen, Begriffe zu klaren, Beweisschritte nachzutragen, logisches Argumentieren zu uben oder Ausblicke auf zusatzlichen Stoff zu geben, sind durchaus vertreten, aber nur zu 20 – 30 %.
Zu dem Skript gehort ein sorgfaltig gestaltetes Glossar ("Kurzfassung"), das alle formalen Definitionen und Satze enthalt und als Nachschlagewerk zur Klausur- und Prufungsvorbereitung an die Studierenden verkauft wurde.
Die Beweise und Beweisskizzen des Skripts enthalten haufig Argumentationen, die eigentlich mathematisch nicht haltbar sind. In vielen Fallen ist es moglich, sie durch korrekte Beweisschritte zu ersetzen, ohne den Text aufzublahen, und dies mochte ich selbstverstandlich tun. Wo dies nicht moglich ist, mochte ich deutlich erklaren, da? hier eine Beweislucke in Kauf genommen wird. Im Sinne der begrifflichen Klarheit und der Schulung der mathematischen Kritikfahigkeit erscheint es mir namlich dringend geboten, dem Leser stets reinen Wein daruber einzuschenken, ob er es hier mit einem strengen Beweis, einer Beweisskizze oder einer blo?en Plausibilitatserklarung zu tun hat. Was als Beweis bezeichnet wird, kann ein knapp skizzierter Beweis sein, aber es darf kein fehlerhafter Beweis sein.
An manchen Stellen lassen sich Beweise noch verkurzen oder vereinfachen, manchmal unter Heranziehung neuerer Methoden im elementaren Kontext. Ich mochte der Sprachbarriere zwischen Mathematik und Physik entgegenwirken, indem ich uberall dort, wo fur ein und dieselbe Sache unterschiedliche Konventionen oder Terminologien benutzt werden, explizit auf diesen Umstand hinweise und die beiden Terminologien leichberechtigt nebeneinander stelle.
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