Les systemes hamiltoniens et leur integrabilite
| Date: 21 April 2011, 13:58
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TABLE DES MATIERES
Introduction ..............................................................1
I. Introduction aux systemes integrables ..................................7
1.1. Varietes symplectiques .................................................7
1.2. Systemes hamiltoniens, exemples ...................................... 13
1.3. Systemes completement integrables .................................... 17
I. 4. les flots geodesiques ................................................21
1.5. Appendice: le theoreme de Darboux .................................... 26
Exercices ..................................................................27
II. Variables action-angles ..............................................35
11.1. Operations hamiltoniennes de tores .................................. 35
II. 2. Theoreme d'Arnold-Liouville .........................................40
11.3. Exemples .............................................................48
Exercices ..................................................................52
III. Integrabilite et groupes de Galois ..................................57
Le theoreme d'Arnold-Liouville,
revu par la theorie de Galois differentielle .............................. 57
IIL1. Equation aux variations, groupes de Galois et integrales premieres .. 58
111.2. Le cas d'un systeme hamiltonien .................................... 65
IIL3. Le cas d'un systeme integrable .......................................67
111.4. Vers les applications: la reduction .................................77
111.5. L'exemple de Henon-Heiles .......................................... 83
111.6. Appendice: demonstration du lemme de Ziglin ........................ 86
Exercices ..................................................................90
IV. Une introduction aux equations de Lax ..................................95
Le theoreme d'Arnold-Liouville, fevu a travers les equations de I..ax .... .. 95
IV. 1. Pourquoi des courbes algebriques? .................................... 96
IV. 2. Un theoreme de linearisation ........................................ 100
IV. 3. Le cas des geodesiques des quadriques ............................... 106
IV. 4. Appendice: comment on construit des equations de Lax (un apercu) .....119
Exercices ...................................................................126
Appendices
A. Ce qu'il faut savoir en theorie de Galois differentielle .................135
A.l. Corps differentiels ....................................................135
A.2. Extension de Picard-Vessiot ............................................136
A.3. Le groupe de Galois ................................................... 138
A.4. Le groupe de Galois d'un systeme hamiltonien est symplectique ..........141
A.5. Un exemple: l' equation d Airy ........................................ 142
Exercices faciles sur la theorie de Galois differentielle .................. 147
B. Ce qu'il faut savoir sur les courbes algebriques .......................149
B.1. Courbes complexes et surfaces de Riemann .............................. 149
B. 2. Fibres en droites sur les courbes .................................... 151
B.3. Faisceaux et cocycles ................................................. 153
B.4. Groupe de Picard, Riemann-Roch, jacobienne ............................ 154
Exercices de comprehension des definitions ................................. 158
Bibliographie ............................................................ 161
Index ...................................................................... 167
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